CFA — Как рассчитывать будущую стоимость денежного потока (FV)?
Рассмотрим временную стоимость денег (TVM) единичного потока денежных средств, а также порядок расчета будущей стоимости (FV) при различных способах начисления процентов.
Существует взаимосвязь между первоначальной инвестицией (PV), которая приносит доход по процентной ставке (r) за период, и будущей стоимостью (FV) этой инвестиции, которая будет получена через (N) лет или периодов.
Следующий пример иллюстрирует эту концепцию FV.
Предположим, вы вкладываете $100 (PV = 100) на депозитный банковский счет, который приносит доход 5% в год.
В конце 1 года вы получите $100 плюс проценты, рассчитываемые как 0,05 (times) 100 = $5, что в общей сложности составляет $105.
Чтобы формализовать этот пример расчета FV за 1 период, мы определяем следующие термины:
- (large PV)= текущая или приведенная стоимость инвестиций (англ. ‘present value’).
- (large FV_N) = будущая стоимость инвестиций через (N) периодов от текущей даты (англ. ‘future value’).
- (r) = процентная ставка за период.
Для (N = 1) формула для расчета будущей стоимости PV будет такой:
( dstL FV_1 = PV (1 + r) ) (Формула 1)
В нашем примере мы вычисляем будущую стоимость через 1 год от текущей даты:
( FV_1 = $100 (1.05) = $105 )
Теперь предположим, что вы решили инвестировать первоначальные $100 на 2 года с учетом суммы процентов, начисляющихся на ваш счет ежегодно (т.е. при ежегодном начислении сложных процентов).
В конце 1 года (на начало 2 года) на вашем счете будет $105, которые вы оставите в банке еще на год. Таким образом, при начальном размере инвестиций в $105 (PV = 105), сумма на конец второго года составит:
Обратите внимание, что проценты в размере $5,25, полученные за 2 год, составляют 5% от суммы, оставшейся на банковском счете на начало 2 года.
Еще один способ понять этот пример — отметить, что сумма, вложенная в начале 2-го года, состоит из первоначальной суммы в $100 плюс проценты $5, заработанные в течение 1-го года. В течение 2-го года первоначальная сумма вклада снова приносит проценты, а также проценты от процентов, которые были заработаны за 1-й год.
В приведенной ниже таблице вы более наглядно можете увидеть, как растут первоначальные инвестиции:
Проценты за 1 год ($100 (times) 0.05)
Проценты за 2 год от первоначальных инвестиций (100 (times) 0,05)
Проценты за 2 год от процентов, полученных за 1 год (0,05 (times) 5)
Процентный доход в размере $5, полученный за каждый период от первоначальных инвестиций в размере $100, известен как простой процент (англ. ‘simple interest’): процентная ставка, умноженная на основную сумму.
Основная сумма (англ. ‘principal’) — это сумма первоначально вложенных средств.
В течение двухлетнего периода вы получаете простые проценты в размере $10. Дополнительные $0,25, которые у вас образовались в конце 2 года, — это проценты, начисленные на сумму процентов в $5, которую вы заработали за 1 год и реинвестировали.
Проценты, полученные по процентам в этом примере, дают представление о явлении, которое известно как компаундинг или наращение или капитализация процентов или просто начисление сложного процента (англ. ‘compounding’).
Сложный процент, полученный от реинвестирования процентов, обеспечивает сильный эффект наращения инвестиций, потому что при заданной процентной ставке сумма процентов растет в каждом периоде.
Эффект наращения процентов усиливается с ростом величины процентной ставки. Например, $100, вложенные сегодня, стоили бы около $13,150 через 100 лет при начислении сложного процента по ставке 5%, но они также стоили бы более $20 млн. за тот же период при ставке 13%.
Чтобы проверить это, нам нужна общая формула, позволяющая рассчитать сложный процент для любого количества периодов. Следующая общая формула связывает текущую стоимость первоначальных инвестиций с их будущей стоимостью через (N) периодов:
( dstL FV_N = PV (1 + r)^N ) (Формула 2)
- (r) — процентная ставка за период, а
- (N) — количество периодов наращения процентов.
В примере с банком расчет будет таким:
( FV_2 = $100 (1 + 0,05)^2 = $110,25 )
В примере с инвестициями по ставке 13%:
Наиболее важным моментом, о котором следует помнить при использовании формулы будущей стоимости денежного потока FV, является то, что процентная ставка r и количество периодов наращения (N) должны соответствовать общему временному периоду. То есть, обе эти переменные должны быть определены в одних и тех же единицах времени.
Например, если (N) указана в месяцах, тогда r должна быть 1-месячной процентной ставкой.
Временная линия помогает нам отслеживать соответствие единиц времени процентной ставки и периодов. На графике временной линии мы используем знак (t), чтобы отметить момент начала / окончания периода. Он также обозначает номер (индекс) определенного периода.
Таким образом, текущая стоимость PV представляет собой сумму, которую можно инвестировать в текущую дату с номером (t) = 0. Мы можем ссылаться на момент окончания инвестиционного периода (срок возврата средств) как на (t = N).
Временная линия на рисунке ниже показывает эту связь.
На графике ниже первоначальные инвестиции PV отражены в периоде t = 0. Используя Формулу 2, мы перемещаем текущее значение PV вперед, к периоду (t = N), с помощью коэффициента ((1 + r)^N ).
Этот коэффициент называется фактором будущей стоимости (англ. ‘future value factor’).
Обозначим будущую стоимость на временной линии как FV и расположим ее в точке (t = N). Предположим, что будущее значение должно быть получено ровно через 10 периодов от текущей даты ((N) = 10).
Текущая стоимость PV и будущая стоимость FV разделены во времени через коэффициент ((1 + r)^ ).
Тот факт, что текущая (приведенная) стоимость и будущая стоимость разделены во времени, имеет важные последствия:
- Мы можем добавлять суммы денег только в том случае, если они индексируются в тот же момент времени.
- При заданной процентной ставке (r), будущая стоимость FV увеличивается с ростом количества периодов (N).
- Для данного количества периодов (N), будущая стоимость FV увеличивается с ростом процентной ставки (r).
Чтобы лучше понять эти концепции, рассмотрим три примера, иллюстрирующих применение формулы будущей стоимости.
Пример (1) расчета будущей стоимости FV с реинвестированием процентов по той же процентной ставке.
Допустим, вы — счастливый победитель лотереи с призом в размере $5 млн. после уплаты налогов. Вы инвестируете свой выигрыш в 5-летний депозитный сертификат (CD) в местном банке. CD обещает ежегодную выплату по годовой процентной ставке 7%.
Это банк также позволяет реинвестировать проценты по той же процентной ставке в течение срока действия депозитного сертификата.
Какую сумму вы заработаете через 5 лет, если будете реинвестировать начисленные проценты по ставке 7% в течение пяти лет?
Решение:
Вычислим будущую стоимость инвестиций FV, используя в формуле следующие значения в:
По истечении 5 лет у вас будет $7,012,758.65.
Обратите внимание, что фактор будущей стоимости округлен до шести десятичных знаков после нуля, но расчет может фактически отражать большую точность.
Например, фактор будущей стоимости в примере 1.402552 был округлен от 1.40255173, но расчет фактически выполняется (калькулятором или электронной таблицей) с фактором более 8 десятичных знаков после нуля.
Пример (2) расчета будущей стоимости FV без реинвестирования процентов.
Финансовая организация предлагает вам следующие условия: за инвестиции в размере ¥2,500,000 компания обещает выплатить вам единовременную сумму через 6 лет по годовой процентной ставке 8%.
Какова будет будущая стоимость инвестиций?
Решение:
Используйте следующие данные в Формуле 2, чтобы найти будущую стоимость FV:
Через 6 лет вы получите ¥3,967,186.
Наш третий пример — более сложная задача расчета FV, которая иллюстрирует важность отслеживания фактических календарных сроков.
Пример (3) расчета будущей стоимости с отсроченной единовременной инвестицией.
Менеджер пенсионного фонда ожидает, что его корпоративный клиент внесет $10 млн. через 5 лет от текущей даты. Норма прибыли активов фонда оценивается в 9% годовых.
Менеджер пенсионного фонда хочет рассчитать будущую стоимость этого взноса через 15 лет от текущей даты, то есть на дату, когда средства будут распределены пенсионерам.
Какой будет будущая стоимость?
Решение:
При индексе периода (t = 5) мы можем рассчитать будущую стоимость вклада, используя следующие данные в Формуле 2:
Эта задача очень похожа на предыдущие две, но есть одно важное отличие: временная линия инвестиций.
С текущей даты ((t = 0)) будущая стоимость через 15 лет составит $23 673 636,75.
Хотя будущая стоимость FV соответствует 10-летнему сроку начисления процентов, первоначальная стоимость в $10 млн. будет получена только через 5 лет от текущей даты.
Как показано на графике выше, первоначальные инвестиции в размере $10 млн. должны быть осуществлены через 5 лет, поэтому эта сумма индексируется как (t = 5) и отображается на временной линии в соответствующей точке.
Будущая стоимость инвестиций FV через 10 лет индексируется как (t) = 15, то есть 10 + 5.
Временные линии, подобные приведенной выше, могут быть чрезвычайно полезными при решении более сложных задач, особенно тех, которые связаны с несколькими потоками денежных средств.
Предположим, что менеджер пенсионного фонда также должен получить сегодня от корпоративного клиента $6,499,313,86.
Сколько будет стоить эта сумма через 5 лет?
Сколько она будет стоить через 15 лет?
Частота начисления процентов.
Рассмотрим инвестиции, для которых проценты выплачиваются более одного раза в год, т.е. инвестиции с разной частотой начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).
Например, многие банки предлагают ежемесячную процентную ставку, которая начисляется 12 раз в год. По такому вкладу банки начисляют проценты на проценты каждый месяц.
Вместо того, чтобы указывать периодическую ежемесячную процентную ставку, финансовые учреждения часто ссылаются на годовую процентную ставку, которую мы называем заявленной годовой процентной ставкой (англ. ‘stated annual interest rate’) или котируемой процентной ставкой (англ. ‘quoted interest rate’).
Заявленная годовая процентная ставка обозначается в формулах как rS. Заявленная годовая процентная ставка равна месячной процентной ставке, умноженной на 12.
Например, ваш банк может заявить, что за определенный депозит он платит 8% ежемесячно. В этом случае месячная процентная ставка составляет 0,08 / 12 = 0,0067 или 0,67%.
Эта ставка является сугубо ориентировочным значением, поскольку ((1 + 0,0067)^ = 1,083), а не 1.08. Значение ((1 + r_s)) не является фактором будущей стоимости для расчета процентов за период меньше 1 года.
Формула будущей стоимости может быть выражена в виде более чем одного периода составления отчетности в год.
( dstL FV_N = PV left(1 + right)^ ) (Формула 3)
- (r_s) — заявленная годовая процентная ставка,
- (m) — количество составляющих периодов года, a
- (N) — обозначает количество лет.
Обратите внимание на совместимость между заявленной процентной ставкой, периодической ставкой (r_s / m) и количеством периодов начисления (mN).
Периодическая ставка (англ. ‘periodic rate’) (r_s / m) представляет собой заявленную годовую процентную ставку, деленную на количество периодов начисления в году.
Общее количество периодов начисления (mN), представляет собой количество периодов начисления за 1 год, умноженное на количество лет.
Периодическая ставка (r_s / m) и количество периодов начисления (mN) должны быть совместимыми.
Пример (4) расчета будущей стоимости FV с ежеквартальным начислением процентов.
Продолжая пример с депозитным сертификатом, предположим, что ваш банк предлагает вам депозит с 2-летним сроком. Заявленная годовая процентная ставка в размере 8% начисляется ежеквартально, а также есть возможность реинвестирования процентов по той же процентной ставке. Вы решили вложить $10,000.
Сколько будет стоить депозит к моменту его закрытия?
Решение:
Вычислим будущую стоимость с помощью Формулы 3 следующим образом:
(PV) = $10,000
(r_S) = 8% = 0.08
(m) = 4
(r_s / m) = 0.08/4 = 0.02
(N) = 2
(mN) = 4(2) = 8 периодов начисления
К моменту закрытия депозит будет стоить $11,716.59.
Формула 3 не отличается от Формулы 2. Просто имейте в виду, что в ней используется периодическая процентная ставка, а экспонента — это общее количество периодов начисления.
Пример (5) расчета будущей стоимости FV с ежемесячным начислением процентов.
Банк предлагает вклад под 6% с ежемесячной выплатой начислений. Вы решили инвестировать $1 млн. на 1 год.
Какова будущая стоимость ваших инвестиций, если процентные платежи реинвестируются под 6%?
Решение:
Используя Формулу 3, найдем будущую стоимость инвестиции следующим образом:
(PV) = $1,000,000
(r_S) = 6% = 0.06
(m) = 12
(r_s / m) = 0.06/12 = 0.005
(N) = 1
(mN) = 12(1) = 12 периодов начисления
Если бы вам выплачивали 6% с годовым начислением, будущая стоимость составляла бы всего $1,000,000(1.06) = $1,060,000 вместо $1,061,677.81 при ежемесячном начислении.
Непрерывное начисление сложных процентов.
Приведенное выше обсуждение периодов начисления сложных процентов иллюстрирует дискретное начисление, связанное с расчетом процентов за определенный период времени.
Если количество периодов начисления в год становится бесконечным, то такое начисление процентов считается непрерывным.
Если мы хотим использовать формулу будущей стоимости FV с непрерывным начислением, нам нужно найти предельное значение фактора будущей стоимости для (m rightarrow infty ) (т.е. бесконечно много периодов начисления в год) в Формуле 3.
Формула для будущей стоимости суммы через (N) лет с непрерывным начислением:
( dstL FV_N = PV e^ ) (Формула 4)
Выражение (e^) является трансцендентальным числом (e approx 2,7182818), возведенным в степень (r_SN). Большинство финансовых калькуляторов имеют функцию (e^x).
Пример (6) расчета будущей стоимости FV с непрерывным начислением процентов.
Предположим, что инвестиции в размере $10,000 будут приносить 8% годовых с непрерывным начислением в течение 2 лет.
Мы можем вычислить будущее значение с помощью Формулы 4 следующим образом:
При такой же процентной ставке, но с использованием непрерывного начисления инвестиции в размере $10,000 вырастут до $11,735,11 за два года по сравнению с $11,716,59 при ежеквартальном начислении, как показано в Примере 4.
В таблице ниже показано, как заявленная годовая процентная ставка в размере 8% генерирует разные суммы будущей стоимости при годовом, полугодовом, ежеквартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении для первоначальной инвестиции в размере $1 (с округлением результата до шести знаков после запятой).
Как видно из таблицы, все шесть вариантов начисления имеют одинаковую процентную ставку в 8%, но дают разные результаты из-за различий в частоте начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).
Более частое начисление приводит к увеличению итоговой будущей стоимости FV. Итоговая сумма при непрерывного начисления — это максимальный результат, который можно получить при заявленной годовой ставке 8%.
Калькулятор расчёта стоимости финансовой цели
Поможет рассчитать, сколько будет стоить цель к заданному сроку, на основе её текущей стоимости и уровня инфляции.
Как работает калькулятор
При расчёте будущей стоимости финансовой цели калькулятор учитывает, насколько изменится покупательная способность денег к заданному сроку. Заполните поля и нажмите кнопку «Рассчитать». Вы можете двигать ползунки или указывать свои значения. Рядом с каждым полем есть поясняющая подсказка — просто наведите курсор на значок .
В результате вы узнаете, сколько будет стоить ваша цель к указанному сроку. Из-за влияния инфляции не только растут цены, но и снижается ценность денег, то есть на одну и ту же сумму в будущем вы сможете купить меньше, чем сейчас, — а финансовая цель окажется дороже, чем на старте.
проект «Открытие Инвестиции»
Открыть брокерский счёт
Тренировка на учебном счёте
Об «Открытие Инвестиции»
Москва, ул. Летниковская,
д. 2, стр. 4
8 800 500 99 66
Согласие на обработку персональных данных
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Показатели оценки инвестиционного проекта
Инвестиционные проект составляют, чтобы привлечь инвестиции для реализации идеи. При этом инвестиции должны быть целесообразными, иметь конкретные сроки и установленные объёмы.
Когда инвесторы рассматривают проекты, они хотят найти способ сохранить или приумножить капитал. Чтобы сделать грамотный выбор, они оценивают потенциальный доход, сроки и риски.
В статье мы разберём, какие существуют методы для оценки инвестпроектов, какие показатели рассматривают инвесторы и как их рассчитать.
Основные показатели оценки инвестпроектов
Существуют два типа современных методов оценки инвестиционных показателей: статистические и методы, основанные на дисконтировании.
Главное отличие статистических от методов дисконтирования в том, что они не учитывают временную стоимость денег.
В 1999 г. ученые Грэм и Харви попытались выяснить, какие методы используют в практике финансовые директоры американских компаний. Они отправили анкету 4440 компаниям, в которой просили указать наиболее часто используемые методы оценки проектов. Ответы были получены от 392 респондентов.
Результаты исследования показали, что крупные фирмы (с уровнем продаж до 1 млрд $) предпочитают показатели внутренней нормы доходности (IRR) и чистой дисконтированной стоимости (NPV), не всегда принимая в расчёт срок окупаемости (PBP) и дисконтированный срок окупаемости (DPP) в отличие от маленьких предприятий (с уровнем продаж до 100 млн $) [Graham, Harvey, 2001].
Источник https://fin-accounting.ru/cfa/l1/quantitative/cfa-how-to-calculate-future-value-of-cash-flow-fv
Источник https://journal.open-broker.ru/services/kalkulyator-stoimosti-tseli/
Источник https://www.beboss.ru/journal/3231-pokazateli-ocenki-investicionnogo-proekta